English
Swedish

Populärvetenskaplig information

Statistiska metoder för ekonomiska tidsserier

Forskare använder ofta data i form av tidsserier – kronologiskt ordnade observationer – för makroekonomiska variabler när de skattar samband, gör prognoser och testar hypoteser hämtade från ekonomisk teori. Konsumtionen i ett samhälle kan t.ex. bero på total arbetsinkomst och förmögenhet, realräntor, åldersfördelning i befolkningen, osv. I enklast tänkbara läroboksexempel har vi ett statiskt, linjärt samband med endast två variabler:

Ekvationen säger att variabeln g_t (exempelvis konsumtionen i kvartal t) beror på variabeln x_t (exempelvis inkomsten i samma period). Den sista termen – slumptermen e_t – uttrycker den variation i g_t som modellen inte kan förklara. Med hjälp av tidsserier för variablerna g_t och x_t kan parametrarna a och b skattas med statistiska metoder (regressionsanalys). Giltiga slutsatser förutsätter att metoderna är anpassade efter seriernas specifika egenskaper. Årets ekonomipristagare har utvecklat metoder som fångar två centrala egenskaper hos många tidsserier: icke-stationaritet, respektive tidsvarierande volatilitet.

Icke stationaritet, gemensama trender och kointegration

Många makroekonomiska tidsserier är icke-stationära: en variabel som BNP följer sålunda en långsiktig trend, där tillfälliga störningar påverkar dess långsiktiga nivå. Till skillnad från stationära tidsserier visar de ingen tydlig tendens att återvända mot ett konstant värde eller en given bana. Figur 1 visar två exempel på sådana serier. Den taggiga kurvan, med stora kortsiktiga svängningar, visar växelkursen mellan japanska yen och amerikanska dollar för varje månad sedan 1970. Den jämnare kurvan visar konsumentprisnivån i Japan i förhållande till den i USA under samma tid.

Högupplöst bild (jpeg 110 kB)

Figur 1: Logaritmen av valutakursindex japanska yen/US dollar samt logaritmen av kvoten mellan konsumentprisindex för Japan och konsumentprisindex för USA. Månadsdata januari 1970 – maj 2003.

Statistiska fallgropar

Trots att makroekonomiska tidsserier ofta är icke-stationära hade man länge bara tillgång till de standardmetoder som utvecklats för stationära data. Redan 1974 visade Clive Granger (tillsammans med Paul Newbold) hur skattningar av samband mellan icke-stationära variabler kan ge nonsensresultat genom att felaktigt indikera signifikanta samband även mellan helt orelaterade variabler. (I ekvationen ovan uppstår problemet om slumptermen e_t är icke-stationär – standardtest kan då indikera att b är skild från 0, även om det sanna värdet är 0).

De statistiska fallgroparna kan också ge felaktiga slutsatser om samband som faktiskt existerar. I synnerhet kan det vara svårt att särskilja temporära och varaktiga samband mellan icke-stationära tidsserier. Ekonomisk teori förutsäger att t.ex. en starkare växelkurs borde hänga samman med långsammare prisstegringar på längre sikt, eftersom priser uttryckta i gemensam valuta inte kan avvika alltför mycket från varandra. Det framgår också av Figur 1 att yenen stärkts mot dollarn sett över hela perioden samtidigt som den amerikanska prisnivån stigit i förhållande till den japanska. På kort sikt styrs dock växelkursen så starkt av förväntningar och kapitalrörelser att ett eventuellt långsiktsamband är svårt att skatta med standardmetoder.

Tidigare var en vanlig ansats att tackla problemen med icke-stationära data att specificera statistiska modeller som samband mellan differenser (ökningstakter). I stället för ett samband mellan växelkurs och relativ prisnivå, skulle man kunna skatta ett samband mellan valutadepreciering och relativ inflation. Om ökningstakterna är stationära ger då gängse metoder giltiga slutsatser. Men även om en statistisk modell med enbart differenstermer kan fånga den kortsiktiga dynamiken i processen, har den mindre att säga om variablernas långsiktiga samvariation. Detta är olyckligt eftersom ekonomisk teori ofta formuleras i termer av nivåer, och inte differenser.

Det har därför varit en utmaning för forskarna att finna metoder för icke-stationära data som gör det möjligt att spåra eventuella långsiktiga samband bakom bruset av kortsiktiga fluktuationer. Clive Grangers arbeten har skapat en sådan statistisk analysapparat.

Grangers bidrag

I några få uppsatser publicerade under 1980-talet utvecklade Granger begrepp och analysmetoder som kan förena kort- och långsiktiga perspektiv. Nyckeln till dessa metoder, och till giltiga statistiska slutsatser, är hans upptäckt att en speciell kombination av två (eller flera) icke-stationära serier kan vara stationär. Ofta ger ekonomisk teori just sådana förutsägelser: om två variabler binds samman av en jämviktsrelation kan de avvika från denna på kort sikt men anpassar sig på längre sikt tillbaka mot jämvikten. Vedertagen teori förutsäger t.ex. en långsiktig jämviktsväxelkurs där prisnivåerna i gemensam valuta står i paritet till varandra. Granger myntade begreppet kointegration för en stationär kombination av icke-stationära variabler.

Granger visade också att relationer mellan kointegrerade variabler kan uttryckas i en s.k. felkorrigeringsmodell. En sådan modell är inte bara statistiskt meningsfull utan har också en naturlig ekonomisk tolkning. Den säger att t.ex. dynamiken i valutakursutvecklingen drivs av två krafter: dels en tendens att utjämna avvikelser från jämviktsväxelkursen, dels en kortsiktig dynamik omkring anpassningsbanan mot den långsiktiga jämvikten.

För att kointegrationsbegreppet skulle bli praktiskt användbart behövdes dock kraftfulla statistiska metoder för skattningar och hypotestest. Sådana presenterades av Granger och Robert Engle år 1987 i en uppsats som fått oerhört stor betydelse. De anvisar där dels ett test av hypotesen att ett antal icke-stationära variabler inte är kointegrerade, dels en tvåstegsmetod för skattning av felkorrigeringsmodellen. Förbättrade metoder – som sedermera blivit standard – har senare utvecklats av Søren Johansen.

I senare arbeten har Granger tillsammans med andra forskare utvidgat kointegrationsanalysen i olika avseenden, bl.a. för att hantera serier med säsongsmönster (säsongskointegration) och serier där anpassning mot jämvikt utlöses först när avvikelsen överstiger ett kritiskt värde (tröskelkointegration).

Tillämpningar

Clive Grangers arbeten har helt ändrat ekonomers förhållningssätt till tidsseriedata. Tester för stationaritet och kointegration genomförs numera regelmässigt för att vägleda den dynamiska specifikationen av ekonometriska modeller. Kointegrationsanalys har visat sig särskilt viktig i system där den kortsiktiga dynamiken påverkas av stora slumpmässiga störningar, samtidigt som de långsiktiga variationerna begränsas av ekonomiska jämviktsrelationer. Ett exempel är sambandet mellan växelkurser och prisnivåer. Andra exempel är sambanden mellan konsumtion och förmögenhet (dessa måste vara konsistenta med varandra på lång sikt, men konsumtionen utvecklas mycket jämnare än förmögenhetsvärdet på kort sikt), utdelningar och aktiekurser (aktiekurser följer utdelningarnas utveckling på lång sikt, men uppvisar betydligt större fluktuationer på kort sikt), samt räntor på olika löptid (där längre och kortare räntor binds samman av förväntningar om framtida korträntor, även om de på kort sikt rör sig i olika riktningar).

Tidsvarierande votalitet och arch

Bedömningen av risker står i centrum för verksamheten på finansiella marknader. Investerare avväger den förväntade avkastningen på en placering mot dess risk. Banker och andra finansiella institutioner vill försäkra sig om att värdet av deras tillgångar med till visshet gränsande sannolikhet inte kommer att understiga en miniminivå som skulle riskera bankens soliditet. För att göra sådana bedömningar behövs mått på volatiliteten i tillgångarnas avkastning. De metoder som Robert Engle utvecklat gör det bland annat möjligt att göra sådana beräkningar på ett bättre sätt än tidigare.

Figur 2 visar avkastningen på en investering i aktieindex för börsen i New York (Standard & Poor 500) för alla börsdagar från maj 1995 till april 2003. Avkastningen uppgick i genomsnitt till 5,3 procent per år. Samtidigt var svängningarna stora med kursrörelser under enstaka dagar på över (plus eller minus) 5 procent. Standardavvikelsen (fotnot) i dagsúavkastningen mätt över hela perioden var 1,2 procent. Betraktar vi figuren närmare ser vi dock att volatiliteten varierar över tiden: stora förändringar (uppåt eller nedåt) följs ofta av ytterligare stora förändringar, små förändringar av små förändringar. Detta illustreras tydligare i Figur 3 som visar standardavvikelsen* mätt över de fyra senaste veckorna. Som synes varierade denna påtagligt, från omkring en halv procent under lugna perioder till närmare tre procent under mer turbulenta episoder. En liknande tidsvariation i volatiliteten karakteriserar flertalet finansiella tidsserier.

Högupplöst bild (jpeg 161 kB)

Figur 3: Standardavvikelse för den procentuella dagliga avkastningen på en investering i Standard & Poor 500 aktieindex, 16 maj 1995 – 29 april 2003, beräknad på data för fyra närmast föregående veckor.

Engles bidrag

Figuren återger bara beräkningar i efterhand av hur volatiliteten varierat över tiden. Men investerare och finansiella institutioner behöver framåtblickande bedömningar – prognoser – över volatiliteten under kommande dag, vecka och år. I en banbrytande uppsats från 1982 formulerade Robert Engle en modell, som möjliggör sådana bedömningar.

Statistiska modeller för aktieavkastningen förmår bara förklara en bråkdel av variationen från en dag till en annan. Den allra största delen av volatiliteten kommer därför att hamna i slumptermen (termen e_t i ekvationen ovan), modellens prognosfel. I statistiska standardmodeller antas slumptermens förväntade varians vara konstant över tiden. Detta fångar uppenbarligen dåligt de stora variationerna i aktieavkastningen i Figur 3.

Engle antog i stället att variansen av slumptermen i en viss statistisk modell, i en viss tidsperiod, beror systematiskt på tidigare realiserade slumptermer, så att stora (små) slumptermer tenderar följas av stora (små) slumptermer. Tekniskt uttryckt är slumptermen autoregressivt betingat heteroskedastisk. Hans ansats har därför blivit känd under akronymen ARCH (autoregressive conditional heteroskedasticity). I vårt exempel innefattar modellen nu inte bara en prognosekvation för aktieavkastningen, utan också ett antal parametrar som visar hur variansen för prognosekvationens slumpterm beror på prognosfelen i tidigare perioder. Engle visade hur sådana ARCH-modeller kan skattas, och presenterade ett praktiskt användbart test för hypotesen att slumptermens betingade varians är konstant.

I senare forskning har Engle tillsammans med studenter och kollegor utvecklat sin ansats i ett antal olika riktningar. Mest känd är den generaliserade ARCH-modellen (GARCH) presenterad av Tim Bollerslev 1986, där variansen för slumptermen i en viss period inte bara beror på tidigare slumptermer utan också på variansen i tidigare perioder. Denna utvidgning har visat sig mycket användbar, och GARCH är den modell som oftast tillämpas idag.

Tillämpningar

I sin första ARCH-uppsats använde Engle sin modell för tidsvarierande volatilitet till att studera inflationen. Det visade sig dock tidigt att de viktigaste tillämpningarna fanns inom den finansiella sektorn, vars aktiviteter just syftar till att hantera och prissätta olika slags risker. Modeller för prissättning relaterar därför priser på värdepapper till volatiliteten: den förväntade avkastningen för en enskild aktie beror på samvariationen (kovariansen) mellan avkastningarna på aktien och marknadsportföljen (enligt CAPM, belönad med 1990 års ekonomipris till Sharpe), optionspriser beror på variansen i den underliggande tillgångens avkastning (enligt Black-Scholes formel, belönad med 1997 års ekonomipris till Merton och Scholes), osv. För att fånga upp sådana kopplingar har Engle tillsammans med andra forskare utvecklat modeller (GARCH-M) där den förväntade avkastningen beror på tidsvarierande varianser och kovarianser och därigenom själv blir tidsvarierande.

Hur stor praktisk betydelse har det att volatiliteten varierar över tiden? Om man applicerar en GARCH-modell på aktieavkastningarna i Figur 2 finner man att den betingade volatiliteten, uttryckt som en standardavvikelse, fluktuerat mellan 0,5 och 3 procent under den aktuella perioden. Hur stort kapital riskerar en investerare med en indexportfölj motsvarande Standard & Poor 500 att förlora nästa dag? Vid en prognostiserad standardavvikelse på 0,5 procent kommer hennes förlust, med 99 procents sannolikhet, inte att överstiga 1,2 procent av portföljens värde. Motsvarande maximala kapitalförlust vid 3 procents standardavvikelse är hela 6,7 procent. Dylika kalkyler av value at risk spelar en central roll i modern riskanalys när banker och andra företag beräknar marknadsrisken i sina värdepappersportföljer. Sedan 1996 föreskriver också internationellt överenskomna regleringar (de s.k. Basel-reglerna) att value at risk bör användas som underlag för bankernas kapitaltäckningskrav. Genom sin användning i dessa och andra sammanhang är ARCH-metoder idag omistliga redskap vid riskbedömningar i den finansiella sektorn.

* Standardavvikelsen definieras som kvadratroten ur variansen, vilken anger den genomsnittliga kvadrerade avvikelsen från seriens medelvärde. Variansen för T observationer av en variabel x_t med medelvärdet kan alltså beräknas som

Länkar och lästips